Treffen für Mathematikinteressierte

Spaß an Mathematik

Das Junior-Sommertreffen fand Mitte August im Seminarzentrum Raach am Hochgebirge statt und hatte den Zweck, den Schülern die Gelegenheit zu geben, sich in freundlicher Atmosphäre mit Mathematik, die über den Schulstoff hinausgeht, zu beschäftigen sowie die Schüler zu motivieren, mit der Mathematikolympiade weiterzumachen und vielleicht später Österreich bei der jährlich stattfindenden Internationalen Mathematikolympiade zu vertreten.

Das Sommertreffen wurde im Rahmen der Österreichischen Mathematikolympiade veranstaltet. Diese Olympiade besteht aus wöchentlichen Kursen in vielen Schulen sowie aus regionalen und nationalen Wettbewerben und Trainingscamps für mathematisch interessierte Schüler. Sie stellt auch die Qualifikation für die Internationale Mathematik-Olympiade (2024 im Vereinigten Königreich) sowie die Mitteleuropäische Mathematik-Olympiade (2024 in Ungarn) dar. Bei den Aufgaben der Mathematik-Olympiade geht es nicht so sehr um das Abarbeiten bekannter Lösungsmethoden, sondern vielmehr um logisches Denken, spielerischen Zugang und kreative Problemlösungen.

Seit 50 Jahren Raach

Die Gemeinde Raach wurde schon vor über 50 Jahren dafür ausgewählt, da das Bundestraining und der Bundeswettbewerb der Österreichischen Mathematikolympiade seit 1970 im Seminarzentrum Raach durchgeführt werden. Da die derzeitigen Verantwortlichen bereits als Schüler sehr gute Erfahrungen in Raach gemacht haben, wurde auch das neu eingeführte Junior-Sommertreffen dort abgehalten.

Es haben 18 Schüler teilgenommen, davon 14 Buben und vier Mädchen im Alter von zwölf bis 16 Jahren. Der Teilnahme ging eine Einladung aufgrund des guten Abschneidens bei den Junior-Regionalwettbewerben voraus, die am Ende des ersten Jahres bei Teilnahme eines Kurses der ÖMO stattfinden. Die Teilnehmer kamen aus Wien, Niederösterreich, Oberösterreich, Steiermark, Kärnten, Tirol sowie aus Tschechien, da auch die Österreichischen Schulen im Ausland an der ÖMO teilnehmen. Drei der Teilnehmer aus Österreich waren Ukrainer.

Zwischen mathematischen Vorträgen und Aufgaben von Theresia Eisenkölbl (Kombinatorik, Algebra), Gerlinde Faustmann (Zahlentheorie) und Johann Schmidt (Geometrie) gab es mit Unterstützung von Michael Hollnbuchner eine Rätselrallye, die die Teilnehmer durch das ganze Gelände des Seminarzentrums führte.

Am Abend war dann noch Zeit für Perseiden, Spieleabende, ein Tischtennisturnier, eine kleine Wanderung, Origami und Singen.

Beispielhafte Aufgabe aus dem Junior-Sommertreffen:

An einem Mathematikkurs nehmen 100 Personen teil. Bei der Abschlussparty nimmt die erste Person 1/100 des Kuchens, die zweite 2/100 des übrigen Kuchens, die dritte 3/100 des übrigen Kuchens und so weiter bis zur letzten Person, die 100/100 des übrigens Kuchens nimmt, also den ganzen Rest. Wer erhält das größte Stück Kuchen?  

Auflösung:

Ein möglicher Lösungsweg ist folgender („x“ ist das Malzeichen und kann natürlich durch einen Mittelpunkt ersetzt werden)

Wir überlegen uns ob Person Nummer P oder Person Nummer P+1 mehr bekommt.

Vor der Person Nummer P gibt es noch eine gewisse Menge K an Kuchen. Die Person Nummer P nimmt davon P/100 also K x P / 100.

Die Person Nummer P+1 hat jetzt den Rest an Kuchen vor sich, also K – (P x K /100) = K x (100 -P) / 100, und nimmt davon (P+1)/100, also

(K x (100-P) / 100) x (P+1)/100.

Wenn ist nun 

K x P / 100 < (K x (100-P) / 100) x (P+1)/100 ? Wir dividieren beide Seiten durch K und multiplizieren mit 100 und nochmal mit 100 und erhalten die äquivalente Ungleichung: P x 100 < (100-P) x (P+1) Ausmultiplizieren ergibt: 100 P < 100 P + 100  – P² – P

also

P²+P < 100 Das gilt ganz sicher noch für P= 9 (weil 9² + 9 = 81 + 9 = 90) und sicher nicht mehr ab P=10 (weil 10²+10 = 110). Ab P=10 gilt sogar P²+P>100, der nächste erhält also wirklich weniger.

Die richtige Antwort lautet der 10.